起初我是想依靠巨人的肩膀，利用现成的地球生物量演化模型，投放到不同的行星环境下(当然就是修改参数玩儿)看看趋势。 这就不得不提次修进化生物学课程，在最初的一项课程作业里，谨向尊敬的张德兴老师提出的三个问题：

Can the evolution be seen as a result of the interaction of roughly planetary static environments?

翻译：现有的生物进化是否为行星稳态环境的互作结果？

Can we get a different direction of evolution? If we change some of the initial conditions that produce evolution.

翻译：如果改变一些产生进化的初始条件，我们能得到不同的进化方向吗？

Have we found some unusual evolutionary mechanisms in fact?

翻译：我们实际上是否发现了一些不寻常的进化机制？

我想表达的核心问题其实就是，如果地球生物的演化能被建模，那么改变它们的初始条件，会得到怎样的有趣结果，实际上这样相当于在问系外行星的一些事情。 现在回头看第一个问题水平其实不太好，毕竟有个明显的错误就含在其中：那怎么可能有长期稳态的环境呢？如果只问是否有环境互作参与，显然是在明知故问了，所以姑且忽略到第一问。 不过我不抱有希望能获取到教科书级别的指导和回答，毕竟这种问题在届时的国内，乃至全世界，都算是新奇到有些不可考的地步了。 ——到后面我才了解到，对于地球生物量自身，人类也不甚清楚它的演化方式。

好巧不巧的事情是，一时兴起玩儿似的想法，最终竟然成为了大创项目的主要内容之一，弄清楚大致的演化方式成为了我的科研任务，并且不存在比较系统的老师指导，国内似乎无人同时擅长生态学和天文学两样东西。 因此我还跟同好戏谑了自身一番：我们都在玩Paradox游戏公司的Stellaris，这款太空歌剧游戏的开幕里，文明的前置科技就包含了“行星宜居理论”，而当下我们就刚好在研究它！ 所以弄到最后，前光速土著竟是我自己(其实本来就是)，游戏还给完成真的了。

细心的读者要问生物量模型和宜居性的内在联系了，其实很简单，生物量的增长模型直接反映宜居程度，就像种庄稼一样，作物长势优秀，这片土地的养分就很适宜，反之贫瘠。 但至于生物量要到何种程度才算得上“宜居”，目前我没有头绪，毕竟我甚至不清楚它该怎么生长，所以才说是个研究课题嘛。 心中隐约有个直觉就是，应该会存在量变彰显质变，生物量达到一定丰度后，群系的复杂度足以演化出高等文明。

因此我得强调这个生物量的投放模型，旨在解决的就是“发展出高等群落”的条件概率，而它的前置条件就是：宜居行星上已经出现(投放)生命。

说到此处，兴许会联想到一个看似满篇废话的方程：

\(N=R_{*}~\times ~f_{p}~\times ~n_{e}~\times ~f_{l}~\times ~f_{i}~\times ~f_{c}~\times ~L \)     Drake et al. (1961)

这个著名的德雷克方程包含：

\(N\) 代表银河系内可能与人类通讯的文明数量；

\(R_{*}\) 代表银河内恒星形成的数量；

\(f_p\) 代表恒星有行星的可能性；

\(n_e\) 代表可能发展出生命的行星数量；

\(f_l\) 代表以上行星发展出生命的可能性；

\(f_i\) 代表演化出高智生物的可能性；

\(f_c\) 代表该高智物种能够进行通讯的可能性；

\(L\) 代表该高智文明的预期寿命。

这个计算外星人的式子，把一个让人摸不着头脑的物理量\(N\)分解成了潜在可以计算的8个参数，所以看似废话实则定下了一个大致的标准：我们需要去探求何种未知因素来解决问题。 我隐约感觉，现在正在研究的这个生物量演化，也会用到换汤不换药的方法。 此前在完成尊敬的王鑫老师的基础天文学课程大作业时，我和另外两名同学就针对 代表可能发展出生命的行星数量\(n_e\)进行了一个统计限制，当然我们修改了下它的含义，变成了“恒星系统存在行星的条件下，拥有宜居行星的条件概率”，毕竟这个频数在大样本下是接近概率的。 同样的工作在被 Karl-Florian Platt(2021) 完成过，他在文中给出\(n_e=0.4\)。

但接下来的话可能就会让Platt先生伤心了，我们认为他给出这个数值的理由不充分(肯定不能依照M矮星系统宜居带周边出现类地行星的概率来充当\(n_e\)！ 详见原文引用 Petigura. E 等人的结果)。 并且不得不提及一种普遍的刻板印象，Platt先生的这篇论文至今被引数为2，可能很容易被认为是篇水论文。 但经过我阅读文章后，根据届时自己的知识水平来看，他对Drake方程的修正还是有趣的，至少说在这个领域研究的人本来不多，难以被发现乃至引用似乎也很正常。

\(\frac{N(nM_S)}{(pc)^3}=(n_e \times f_{lp} + n_M \times f_{lM}) \times 0.6 \times 10^{10}years \times (\frac{1}{n})^{\alpha+\frac{5}{2}}\)     Platt (2021)

其中：

\(N\) 保持原有含义；

\(nM_S\) 为中心恒星的质量(n倍太阳质量)；

\(pc\) 为恒星系统到太阳系的距离；

\(n_e\) 为行星的宜居概率；

\(f_{lp}\) 为诞生高等文明的概率；

\(n_M\) 为卫星的宜居概率；

\(f_{lM}\) 为卫星诞生高等文明的概率；

\(\alpha\) 属于Salpeter函数 \(\xi(M)=CM^{-\alpha}\)，描述恒星质量分布的经验模型,一般认为 \(\alpha=2.3\)；

(笔者注：我认为Platt修正的最有趣也是最严谨的地方，就是考虑了卫星，此前很多人都忽略了该情况，并简单粗暴地排除掉了宜居带内的气态巨行星)

所以我已经大概做完的工作就是重新统计一下\(n_e\)的数值，根据 Kopparapu et al. (2013)的宜居带模型， 使用落入点估计的方法,最终得到\(n_e=0.0520\)；若假设行星在恒星系统中均匀分布，用宜居带90%置信的范围去区间估计，才会有相近结果\(n_e=0.3704\)。 但目前发现的系外行星在恒星系统中明显是不均匀的，当然，这也受到了凌日法观测为主的影响，所以区间估计的方式无从肯定也无从否决。

写到这里似乎有些跑题了，本篇随笔要关心的是生物量、是生命发展出高等群落的概率 \(f_i\)，已有的粗略设定中 \(f_i=1\)， “Everywhere life is formed, intelligent life develops (只要诞生生命就能发展出智慧)”，这种规定简直太荒谬了！ 因此我继续开启了参数修正和限制的旅途，上次是\(n_e\)，这次是\(f_i\)！(其实设定值\(f_{l}=1\)肯定也是错的，宜居行星不一定能诞生生命，但目前无从考证它的数值)

铺垫如此之久后终于言归正传，我要写下一些关于地球生物量纯数学模型的想法了—— 当然，要得到可观的生物量关系，其实还有一种反向的思路，便是根据现有的生物地质考证，以及可靠的组分曲线，对此进行数据分析，从而逆推得到具体的数学形式， 不过这一方式并不在本篇中叙述，主要还是关注纯数学模型的推导。

先说最简单的指数模型，上过高中生物的读者应该都对J型曲线耳熟能详了，我们这里讨论的生物量模型，其实也离不开指数的框架。 我们主要关心生物量的时间演化，因故建立类似于\(M(t)=ab^t\)这样的模型，其中一般情况下，单位时间内与增长相关的\(b \in [1,2]\)， 此时还尚不清楚单位时间的具体时长。这是我人为设定的范围，基于二分裂的粗略速率，现实中并不是所有物种的增长都是二分裂，且因为其他因素在同样的演化时间内具有延迟，于是取在1到2之间。

我更倾向于把\(M(t)\)写成e指数的形式，这样就可以把底数和前面的系数，都写进指数里了，性质也很好，所以改写为\(M(t)=e^{Kt}\)。 对于这样的模型我们有原始方程组：

\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial M(t)}{\partial t}=R[t,p,i] \cdot M(t) \\ M(0)=1 \space bm, \space M(\tau)\text{有界} \\ \frac{\partial M(t)}{\partial t}\big|_{t=0}=R[0,p,0],\space \frac{\partial M(t)}{\partial t}\big|_{t=\tau}=R[\tau,p,N]\text{有界} \end{array} \right.\]

其中：\(\tau\)指终末时间，bm是为了初始条件归一化而建立的单位，是biomass的缩写。

而\(R(t,p,i)\)是一个很复杂的项，令\(R(0,p,0)=R_0\)有如下定义：

\[R[t,p,i]=\left\{ \begin{array}{l} R_0, \space 0 \le t \lt t_1, \space i=0 \\ R_0 (1 + \sum_{i=1}^{N} \eta_N \cdot p_N), \space t_N \lt t \lt t_{N+1}, \space i=N\\ \end{array} \right.\]

规定\(R_0\)为基础累积速率，可正可负，认为\(R_0=b_Nq_N+b_Lq_L-v_e \in [0,1n2]\)，数值范围与此前的\(M(t)=ab^t\)处有关。

另外\(q_N\)指非光化学速率，\(q_L\)指光化学速率，\(v_e\)指灭绝速率，\(b\)为影响\(q_N\)和\(q_L\)的环境因子，于是有：

\[\sum_{i=1}^{N} \eta_N \cdot p_N=\left\{ \begin{array}{l} \lt -1,\space \text{群落衰减}\\ \in [-1,0),\space \text{群落抑制}\\ = 0,\space \text{近中性的}\\ \gt 0,\space \text{群落增速} \end{array} \right.\]

我们称\(R(t,p,i)\)是指在投放生命后的\(t\)时间时，在经过第\(i\)次突变事件时的生物量增长速率，此时的\(p\)为第\(i+1\)次的突变概率。 这里使用了类似于non-Markov Chain(马尔科夫链)的概念，\(R(t,p,i)\)随机漂变，相邻状态顺序继承，本质是一个多分段的随机函数。 \(R(0,p,0)=R_0\)此时还应该强调应该为“基础速率”，或者单位个体累积生物量的能力，因此它也并非一成不变的， 正如以上式子所示，它还包含了诸如温度和\(CO_2\)含量等因素在内，暂时被写进了\(b_N\)和\(b_L\)这样简单粗暴的参数之中，等待日后的细化研究。

\(\sum_{i=1}^{N} \eta_N \cdot p_N\)这一项就很有意思了，它随着时间推演，因为生物突变而不断漂变， 其累积就是对基础速率的修正，效果可能是近中性的，也可能是生命大爆发，也可能是恐怖的大灭绝。

至于还有另一个耳熟能详的S型曲线模型，即Logistic模型，只在微分方程构建上与J型有区别，应改写为\(\frac{\partial M(t)}{\partial t}=R[t,p,i] \cdot M(t)(1-\frac{M(t)}{K})\) ，其他参数是仍然相同的。需要强调的是环境容纳量\(K\)，认为\(K=aR^2_{⨁}\)，\(a=4\pi\mathbf{P}(\rho_{⨁})\mathbf{X}(\chi)\)， 后两个函数分别与行星密度和其他潜在因素相关，且注意初始质量\(M_0 =1 \space bm\)。

另外在化简S型方程时，我们需要作近似处理\(K-1 \sim K\)，毕竟环境容纳量远大于\(1\space bm\)。

由此可以将J型和S型的曲线模型一并写入下方：

J型： \(lnM(t)=\left(1+\sum_{i=0}^{N}\eta_ip_i\right)\left(b_Nq_N+b_Lq_L-v_e\right)t\)

S型： \(M(t)=\left[\left(4\pi\mathbf{P}(\rho_{⨁})\mathbf{X}(\chi)\right)^{-1}-e^{-\left(1+\sum_{i=0}^{N}\eta_ip_i\right)\left(b_Nq_N+b_Lq_L-v_e\right)t}\right]^{-1}\)

综上就是我对生物量演化模型的初步设想。在生物量增长至S型曲线的最速点之前，可以使用更简单的J型曲线进行模拟计算，毕竟最速点前的阶段，两种曲线的差异并不明显。

此外我的同学成修屹指出随机漂变的\(R[t,p,i]\)也可能写为\(R_0\prod_{i=1}^{N}(1+\eta_ip_i)\)的形式。 我想这也有一定的道理，毕竟期限设想的求和符号是把各突变事件均看作相互独立的来处理的，然而生物突变内在具有一定的联系，使用连乘似乎还更严谨些。 但这样的话，单次\(\eta p\)的数值范围和作用关系就不容易确定了，在计算上麻烦不小，因此留作备择方案讨论。

尾巴上写点题外话——感觉越写越不像随笔了，到了后半部分简直跟写论文似的，太过于讲究逻辑以至于有些累，纯当是想法存档了吧…… 下载了很多关于有机物积累速率的论文，大多都不那么直接和“显然”。关于整个地球演化史的生物行为，要考虑的因素实在太多，以至于我在怀疑自己是否能够在未来8个月之内， 将独立变量逐一分离出来。或许这就是科研吧，要做前人从没做过的东西，不仅要了解太多其实本来不属于该领域的东西，还要有天赋异禀的“猜”和“编”的能力： 我尝试过科幻文学的创作，曾经也为复杂的情节设定和行文结构而困恼，自以为具备了基础的创造能力，如今却在更加缜密的数理面前变得不堪一击了呢！

首篇随笔就耗费掉了大量的时间，期望以后能够提升效率，不然做不到保质保量的日更，但我能预测这是极其困难的，现实更倾向于放缓更新的情况。 总之也算开了个好头，第一篇随笔本身也包含了很多对我自己而言的创新和突破，html编写的经验也富足了许多，希望以后也多有这样的收获。

也向读者祝好！